Matemática Financeira – Sem segredos

APRENDA MATEMÁTICA FINANCEIRA!

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INTRODUÇÃO

Você quer aprender MATEMÁTICA FINANCEIRA? Eu te garanto uma coisa: ao menos uma vez por mês, estarei postando uma aula e indicando os exercícios que você vai fazer para fixar o aprendizado. Ah! Preciso, desde já te dizer que você precisa de uma Calculadora HP-12C. Se ainda não tem, precisa adquirir uma. Mas, como atualmente os preços dessa calculadora caiu, por favor, seja sério com seu aprendizado e adquira uma calculadora boa, isto é, compre uma ORIGINAL, pois, algumas falsificadas não funcionam direito e, na hora que você mais precisa, cadê?

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Invista, portanto, em uma boa Calculadora HP-12C, que você não vai se arrepender. E para que esta introdução não passe em branco. Veja alguns conceitos que estudaremos em nosso MINI-Curso de Matemática Financeira, que vou chamar de Curso CPMF – Curso Permanente de Matemática Financeira.

Numa época bem remota não havia moeda (que popularmente chamamos de dinheiro – já que dinheiro é moeda, mas moeda nem sempre é dinheiro). Então, as pessoas juntavam seus bens para consumo de várias maneiras (caçando, pescando etc.). Com o tempo, surgiu a troca, isto é, alguém queria consumir um determinado bem e não dispunha dele, então, pedia ao vizinho que lhe desse tal bem em troca de outro bem que dispunha e que fosse do interesse do vizinho. Esse sistema é chamado de “escambo”. Mais tarde, surgiu a moeda. Não vamos alongar este assunto, mas, é muito importante imaginar o que seria o mundo de hoje sem a moeda. Mas, a moeda, no sentido de patrimônio, é que justifica o aparecimento dos “juros”, pois quando alguém faz uso do patrimônio alheio deve lhe pagar uma recompensa por isto.

As pessoas acumulavam seus bens de consumo para os períodos de necessidades. Mas, quando alguém não tinha o bem para o consumo e precisava do mesmo, pedia “dinheiro” emprestado para comprá-lo. E quem emprestasse o dinheiro, queria, em troca, uma recompensa por ter que ficar o período do empréstimo sem poder adquirir os bens para o seu próprio consumo. Essa recompensa convencionou-se chamar de Juros.

Com o aprimoramento da técnica de aplicação de capitais, incrementou-se, também, o aprendizado da Matemática Financeira, atualmente tão indispensável para aquelas pessoas que lidam com dinheiro, principalmente no mercado de capitais, aplicando e gerenciando carteiras de empréstimos e aplicações.

Porém, não é só isto. O mercado de consumo ficou muito sofisticado. Atualmente, quando uma operadora de Cartão de Crédito envia a fatura para o cliente, oferece-lhe uma oportunidade de parcelar a faturar e, com isto, liberar o saldo do Cartão para efetuar novas compras. Essa ardileza das operadoras pode significar uma armadilha, pois esse mercado trabalha com nuances psicológicas, que vão de encontro às necessidades (ou não – às vezes, as pessoas compram sem ter necessidade, apenas por serem induzidas a fazer a compra) do consumidor, que nem percebe que naquelas parcelas “tão pequenas” há uma taxa de juros embutida.

Por isto, o presente curso de matemática financeira é essencial para aqueles que pretendem ampliar seus conhecimentos de matemática financeira e, também, para quem opera no mercado financeiro, seja aplicando ou tomando dinheiro emprestado.

Aproveite bem o presente trabalho e quando for de seu interesse, faça contato (jovi@jovi.adv.br), pois as sugestões e críticas serão sempre bem vindas.

CONCEITOS

 Todo estudo deve começar pelos conceitos do objeto estudado. No caso da Matemática Financeira, não se trata, apenas, de definir o que é a própria matéria. O caso é que a Matemática Financeira apresenta uma linguagem nem sempre dominada pelo participante do Curso, principalmente o neófito. Por isto, alguns elementos são importantes para serem estudados. Vejamos os principais conceitos.

 

JUROS

 Os Juros são a remuneração a um determinado volume de moeda que é devido por uma pessoa a outra. Normalmente, obedece a um referencial de mercado, denominado Taxa. Esse volume de moeda pode ser dinheiro propriamente dito ou qualquer bem adquirido numa loja, por exemplo, ou ainda, um direito transferido. Entretanto, a idéia de Juros, como foi referida na Introdução, está relacionada à recompensa (ou remuneração) que a pessoa que deve, tem que pagar ao seu credor.

Em um país inflacionário, muita gente confunde Juros com Inflação e vice-versa, quando, na realidade, não tem nada a ver uma coisa com a outra. Assim, muitas vezes, em uma transação, os Juros, ou seja, a recompensa, não são reais, eles embutem a inflação do período. Porém, didaticamente, é imprescindível estudar as coisas separadamente.

Entendendo os mecanismos da Matemática Financeira, fica muito mais fácil lidar com fatores de problemas inflacionários.

Os Juros podem ser SIMPLES ou COMPOSTOS como veremos mais à frente.

Os Juros são representados, didaticamente, nas fórmulas pela letra “J”.

 

CAPITAL

 O Capital é o volume de moeda que uma pessoa aplica ou investe em uma transação qualquer. Ele pode estar representado por dinheiro propriamente dito ou por qualquer bem físico, ou ainda, por qualquer direito transferido. O Valor do Capital é, quase sempre, determinado por parâmetros do mercado. Quando é expresso em moeda o seu valor equivale ao próprio volume da moeda. Quando a expressão é feita por um bem qualquer, o Valor do Capital é determinado pelo potencial de conversão em moeda que o Bem possui.

Para fins didáticos, o Capital é representado pela letra “C”.

 

MONTANTE

 O Montante é o volume de moeda que representa o total da dívida de uma pessoa para com outra. Isto quer dizer que o Montante equivale à soma do Capital com os Juros do período envolvido na transação.

O Montante é representado nas fórmulas pela letra “M”.

  

TAXA

 Taxa é, genericamente, uma razão, isto é, denomina a grandeza que determina, por exemplo, preços (gêneros ou mercadorias), relação entre moedas (taxa de câmbio), imposto (tributo legal) etc.

A Taxa de Juros é um referencial, normalmente, adotado pelo mercado como fator de remuneração do Capital aplicado ou investido em uma determinada transação por um determinado período.

Didaticamente, consideramos a Taxa como sendo o fator de maior dificuldade para os iniciantes em Matemática Financeira. Este fato está relacionado com a dificuldade do aluno em entender que a Taxa tem relação com o determinado período de tempo e, assim, deve ser corretamente convertida para o período da transação. Por exemplo, tomamos um empréstimo por 20 dias a uma Taxa de 10% (dez por cento) ao mês. Ora, o período está contado em dias e a Taxa está contada em meses, neste exemplo. Então, devemos converter a Taxa Mensal para o equivalente a 20 dias, para que o problema possa ser resolvido.

A relação usual para o emprego da Taxa é o Percentual.

O Percentual refere-se a um determinado volume de juros para cada CEM UNIDADES do Capital. Por exemplo, se o Capital for 2.000 (dois mil) e o percentual for de 5 (cinco), isto quer dizer que os Juros totais serão de 100 (cem), porque 2.000 unidades de Capital tem 20 vezes 100 unidades e, se para cada cem unidades, obtemos 5 unidades de juros, então 5 vezes 20 é igual a 100 de juros.

Há outra relação para o emprego da Taxa que é a Unitário.

Pela representação unitária, a Taxa é o potencial dos JUROS PARA CADA UNIDADE do Capital aplicado ou investimento em uma transação. Assim, no exemplo acima, temos 2000 unidades de Capital, a Taxa era de 5 unidades para cada 100, então, agora passa a ser de 0,05 unidades para cada unidade, ou seja, as 100 unidades foram divididas por cem e tornam-se uma. A Taxa de 5 foi dividida por 100 e tornou-se 0,05. Assim, os Juros são calculados multiplicando-se as 2.000 unidades do Capital, pela Taxa de 0,05 que resultará no mesmo resultado de 100.

A Taxa pode ser:

TAXA NOMINAL

É a Taxa aplicada sobre o Valor Nominal da operação. Normalmente, empregada nas operações de Desconto Comercial ou Por Fora, Desconto Racional ou Por Dentro e no Desconto Bancário ou Simples. A Taxa Nominal é operada pela divisão ou multiplicação linear em números de períodos. É aplicada sobre o Montante ou Valor Nominal.

TAXA EFETIVA ou REAL

 É a Taxa aplicada sobre o Capital efetivamente envolvido na transação, isto é, quando fazemos um desconto e o banco nos entrega um valor líquido na operação, o Capital, na realidade, é este líquido e não o total bruto do Desconto, que é o Montante. Diferentemente da Taxa Nominal, a Taxa Efetiva é operada pela Potenciação (ou Exponencial) e pela Raiz “N” ‘sima (enésima) em números de períodos.

TAXA EQUIVALENTE

 Taxa Equivalente é a Taxa para um período menor que equivale à outra para um período maior ou vice-versa. Por exemplo, uma Taxa Mensal equivalente a uma Taxa Anual, ou uma Taxa Anual equivalente a uma Taxa Quadrimestral.

TAXA LINEAR

 É a taxa que é dividida ou multiplicada, linearmente, pelo determinado número de períodos envolvido na transação. Não devemos, porém, confundir Linear com Nominal, já que o que determina se uma Taxa é Nominal é a sua aplicação, sobre o Montante da operação.

A Taxa de Juros é um dos mais importantes fatores atrelados à Economia de qualquer país. A Taxa às vezes já embute o potencial inflacionário da Economia, mas isso não a impede de ser Taxa.

A Taxa é representada nas fórmulas pela letra “i”.

 

PERÍODO OU TEMPO

 O intervalo de tempo ocorrido a partir do momento em que se efetua uma transação, até o momento em que essa transação é saldada ou terminada, é denominado PERÍODO ou TEMPO da operação. A Taxa é relacionada há um tempo, por exemplo, 1% (um por cento) ao dia, ou 1% (um por cento) ao mês, ou ainda 12% (doze por cento) ao ano. Às vezes a Taxa é dada para o período, mas isto não ocorre regularmente, pois o período das operações é geralmente quebrado, em relação à Taxa.

O Período é representado pela letra “n”.

 

VALOR PRESENTE (VALOR ATUAL)

 O Valor Presente ou Valor Atual de uma transação financeira é o volume de Capital que representa a situação no momento atual de uma transação a ser concretizada em um momento futuro. Por exemplo, se quisermos saber o Valor Presente de uma prestação a ser paga daqui a um mês, temos que levar em consideração a Taxa da operação ou de mercado e constituir um “fator”, para dividir o valor da prestação pelo mesmo e, assim, encontrar o Valor Presente.

A prática do Valor Presente tem aplicação, por exemplo, quando conseguimos o dinheiro suficiente para pagar um débito futuro e não podemos fazer o pagamento. Aí, aplicamos o dinheiro em um Banco pelo prazo que falta para o vencimento e, quando resgatar a aplicação o Montante será equivalente ao valor do pagamento.

O Valor Presente é representado pelas letras “PV ou VP”.

VALOR FUTURO

 O Valor Futuro de uma operação é o Montante, ou seja, o valor do Capital somado aos Juros incorridos no período que determina o Futuro.

Ao solicitar um empréstimo, por exemplo, você já sabe qual o seu poder de pagamento para uma determinada data. Sabendo a Taxa de Juros que o Banco vai cobrar, você saberá se o Valor Futuro é mais ou menos do que você pode pagar e, assim, decidirá mais facilmente se pode ou não tomar o empréstimo.

O Valor Futuro é representado pelas letras “FV ou VF”.

 

PAGAMENTOS ou ANUIDADES (PRESTAÇÕES)

 Os Pagamentos são as parcelas a serem pagas do início até o fim de uma transação financeira, denominada Anuidade. Por exemplo, compramos um Aparelho de TV em uma loja em 12 prestações. Os elementos de uma anuidade são:

  • TERMOS – os valores que constituem os pagamentos ou renda;
  • PERÍODO – os intervalos de tempo entre dois termos;
  • DURAÇÃO – a soma dos períodos da anuidade;
  • MONTANTE – a soma dos montantes de todos os termos;
  • VALOR ATUAL – a soma dos valores atuais de todos os termos.

A anuidade classifica-se em:

  1. a) – Quanto ao prazo:
  • Temporária: quando a duração for limitada;
  • Perpétua: quando a duração for ilimitada.
  1. b) – Quanto ao valor dos termos:
  • Constante: quando todos os termos são iguais;
  • Variável: quando os termos não são iguais.
  1. c) – Quanto à forma de Pagamento/Recebimento:
  • Imediata: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. Classificam-se em:
  • Postecipadas: quando os termos são exigíveis no final de cada um dos períodos;
  • Antecipadas: quando os temos são exigíveis no início de cada um dos períodos.
  • Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período (Carência), e também se classificam em Postecipadas e Antecipadas.
  1. d) – Quanto à forma de Pagamento/Recebimento:
  • Periódicas: quando todos os períodos são iguais;
  • Não-Periódicas: quando os períodos são diferentes entre si.

Os Pagamentos são representados pelas letras “PMT”.

CAPITALIZAÇÃO 

A Capitalização é o sistema em que a cada período ocorrido converte-se os Juros decorridos em Capital e, a partir daí, os mesmos passam a receber Juros também. Quando temos um Capital aplicado a uma determinada Taxa Mensal, por exemplo, ao capitalizarmos os Juros no final do mês, esses Juros serão Capitais no mês seguinte e, isso, determina a efetividade da Taxa.

A Capitalização pode ser efetuada pela multiplicação do fator por ele mesmo, tantas vezes quantas sejam o número de períodos a que se refere. Vamos ver um exemplo esclarecedor no tópico em que falamos de Fator.

 

DESCAPITALIZAÇÃO

 Descapitalização é o sistema inverso da Capitalização, ou seja, e quando tiramos os Juros de uma determinada operação e ficamos apenas com o Capital. É o processo pelo qual encontramos o Valor Presente de uma transação. Para trabalharmos com a Capitalização e a Descapitalização, usamos os Fatores, que estudaremos logo a seguir.             Quando capitalizamos, trabalhamos com o capital e quando descapitalizamos trabalhamos com o montante.

 

FATOR

 O Fator é um item interessante, porque é aqui que começamos a resolver os exercícios de Matemática Financeira. O Fator é a soma do Capital e da Taxa, ambos na forma unitária. Assim, se você tem uma Taxa de 20% (vinte por cento), o Capital é sempre “1” e o Fator será 1,20 (um vírgula vinte). Porque a Taxa de 20% (na forma Percentual) é dividida por 100 e fica na forma Unitária (0,20). Vale lembrar que quando a Taxa está na forma unitária, nós não podemos falar a expressão “por cento”, ou seja, 20% (dizemos “vinte por cento”) e 0,20 (dizemos “zero vírgula vinte”).

  

POTÊNCIA e RAIZ

 A Potência é representada pela quantidade de períodos em que consiste a operação ou transação, no processo de Capitalização. Quando o processo é o inverso da Potenciação, ou seja, a Raiz “n” (onde “n” é o número de períodos da transação).

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